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Análisis Matemático 66

2025 CABANA

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 4 - Estudio de funciones

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4.3. En los siguientes ítems del ejercicio 1, calcular intervalos de concavidad positiva e intervalos de concavidad negativa y puntos de inflexión. - a, b, c, d, e, f, g, h, i, k
f) f(x)=x9−xf(x)=x \sqrt{9-x}

Respuesta

1)\textbf{1)} Identificamos el dominio de f(x)f(x)

El dominio de ff es (−∞,9](-\infty,9]

2)\textbf{2)} Calculamos f′′(x)f''(x)

f′(x)=9−x−x29−x f'(x) = \sqrt{9-x} - \frac{x}{2\sqrt{9-x}}  

Es un poco cuentosa esta derivada. A mi me quedó así:

f′′(x)=−129−x−(29−x−x⋅(−19−x)(29−x)2) f''(x) = -\frac{1}{2\sqrt{9-x}} - ( \frac{2\sqrt{9-x} - x \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{9-x}}\right)}{(2\sqrt{9-x})^2} )

f′′(x)=−129−x−(29−x+x9−x)(29−x)2) f''(x) = -\frac{1}{2\sqrt{9-x}} - ( \frac{2\sqrt{9-x} + \frac{x}{\sqrt{9-x}})}{(2\sqrt{9-x})^2} )

Vamos a reacomodar la situación un poco porque no se olviden que esto va a haber que igualarlo a cero y despejarlo =O 
Del choclo ese entre paréntesis, escribí la suma del numerador como una única fracción, me quedó así:

f′′(x)=−129−x+x−184(9−x)9−x f''(x) = -\frac{1}{2\sqrt{9-x}} + \frac{x - 18}{4(9-x)\sqrt{9-x}}

Y si ahora escribís esta resta como una única fracción:

f′′(x)=3x−364(9−x)9−x f''(x) = \frac{3x-36}{4(9-x)\sqrt{9-x}}

Si, lo logramos, esta es f′′(x)f''(x) =)

3)\textbf{3)} Buscamos los puntos de inflexión de f(x)f(x) igualando la derivada segunda (f′′(x))(f''(x)) a cero

3x−364(9−x)9−x=0 \frac{3x-36}{4(9-x)\sqrt{9-x}} = 0

x=12 x = 12

Ay qué lindo, un punto de inflexión... Eehhh, no... Cómo que no? Fijate que x=12x=12 no pertenece al dominio de ff! Asi que no tenemos punto de inflexión... Todo este quilombo para que al final no haya punto de inflexión... y si, cosas que pasan jaja

Simplemente entonces nos quedaría evaluar el signo de f′′(x)f''(x) en cualquier punto del dominio de ff: ¡Siempre es negativa! Por lo tanto ff siempre es cóncava hacia abajo... 

Ufff, se hizo largo este, pero sobrevivimos =)
Para tu tranquilidad, no creo que jamás te aparezca algo así en un parcial o final eh...
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