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Análisis Matemático 66
2024
CABANA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
4.3.
En los siguientes ítems del ejercicio 1, calcular intervalos de concavidad positiva e intervalos de concavidad negativa y puntos de inflexión.
- a, b, c, d, e, f, g, h, i, k
f) $f(x)=x \sqrt{9-x}$
f) $f(x)=x \sqrt{9-x}$
Respuesta
$\textbf{1)}$ Identificamos el dominio de $f(x)$
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El dominio de $f$ es $(-\infty,9]$
$\textbf{2)}$ Calculamos $f''(x)$
$ f'(x) = \sqrt{9-x} - \frac{x}{2\sqrt{9-x}} $
Es un poco cuentosa esta derivada. A mi me quedó así:
$ f''(x) = -\frac{1}{2\sqrt{9-x}} - ( \frac{2\sqrt{9-x} - x \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{9-x}}\right)}{(2\sqrt{9-x})^2} ) $
$ f''(x) = -\frac{1}{2\sqrt{9-x}} - ( \frac{2\sqrt{9-x} + \frac{x}{\sqrt{9-x}})}{(2\sqrt{9-x})^2} ) $
Vamos a reacomodar la situación un poco porque no se olviden que esto va a haber que igualarlo a cero y despejarlo =O
Del choclo ese entre paréntesis, escribí la suma del numerador como una única fracción, me quedó así:
$ f''(x) = -\frac{1}{2\sqrt{9-x}} + \frac{x - 18}{4(9-x)\sqrt{9-x}} $
Y si ahora escribís esta resta como una única fracción:
$ f''(x) = \frac{3x-36}{4(9-x)\sqrt{9-x}} $
Si, lo logramos, esta es $f''(x)$ =)
$\textbf{3)}$ Buscamos los puntos de inflexión de $f(x)$ igualando la derivada segunda $(f''(x))$ a cero
$ \frac{3x-36}{4(9-x)\sqrt{9-x}} = 0 $
$ x = 12 $
Ay qué lindo, un punto de inflexión... Eehhh, no... Cómo que no? Fijate que $x=12$ no pertenece al dominio de $f$! Asi que no tenemos punto de inflexión... Todo este quilombo para que al final no haya punto de inflexión... y si, cosas que pasan jaja
Simplemente entonces nos quedaría evaluar el signo de $f''(x)$ en cualquier punto del dominio de $f$: ¡Siempre es negativa! Por lo tanto $f$ siempre es cóncava hacia abajo...
Ufff, se hizo largo este, pero sobrevivimos =)
Para tu tranquilidad, no creo que jamás te aparezca algo así en un parcial o final eh...